Estadística: marzo 2014

Teorema de Bayes

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional de A_i dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(A_iÇB) = P(A_i) P(B|A_i) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A₁) P(B | A₁) + P(A₂) P(B | A₂) + . . . + P(A_n) P(B | A_n), obtenemos la ecuación que representa al:

Teorema de Bayes

Ejemplo 3. 11. Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de reguladores A y B visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de Probabilidad Total, cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador al azar de la producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?

Solución

En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por lo que ese evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento condición. Por lo tanto, el planteamiento de la pregunta es P(B | F).

Los datos que se tienen son :

P(A) = 0.75 P(F | A) = 0.95

P(B) = 0.25 P(F | B) = 0.98

De acuerdo al Teorema de Bayes:

Podemos observar que el denominador corresponde al resultado obtenido al aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la probabilidad condicional establece que

. De esta forma podemos ver que la Probabilidad

Total es el denominador de la fórmula del Teorema de Bayes. También podemos observar que aplicando los conceptos de la Regla de Multiplicación y del Teorema de Probabilidad Total llegamos al planteamiento del teorema de Bayes, Veamos:

Ejemplo 3. 12. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Solución

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:

P(A) = 0.5 P(D | A) = 0.03

P(B) = 0.3 P(D | B) = 0.04

P(C) = 0.2 P(D | C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:

Ejemplo 3. 13. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución

Definamos los eventos:

H: Sea un hombre

M: Sea una mujer

E: La persona sea especialista en computación

Tenemos que:

Por lo tanto:

probabilidad condicional

cular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,

Demostración: Para cualquier evento B,

Como los eventos (BÇ A) y (BÇ A^C) son mutuamente exclusivos y su unión es B, entonces por el axioma 3, tenemos:

[3.3]
Despejando P(AÇ B) de la definición de probabilidad condicional, tenemos
P(AÇ B) = P(A) P(B/A) y P(A^C^ÇB) = P(A^C) P (B/A^C)
Sustituyendo en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(A^C) P (B/A^C).
Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica

P(A) P(B/A) = P(AÇ B) y P(A^C) P(B/A^C) = P(A^C^ÇB)

Ejemplo 29: Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.
Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y A^C el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(A^C) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/A^C) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.
Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos:

Reglas de la multiplicación

Ejemplo 2 La probabilidad de que la batería de un automóvil sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor reciba una corriente de carga mayor que la normal, es

. La probabilidad de que la batería quede expuesta a altas temperaturas es

. ¿ Cúal es probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta?

Solución

Sean

: el evento donde la batería experimenta una corriente de carga mayor que la normal, y

: el evento donde la batería está expuesta a altas temperaturas.

el evento condicional, la batería de un automóvil que esta sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor recibe una corriente de carga mayor que la normal
De la información dada se tiene:

Luego, la probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta, $P(A\cap B)$ es :

Ejemplo 3
El $5\QTR{group}{\%}$ de la población de una ciudad sufre de presión sanguínea alta. De la población con presión sanguínea alta el $75\QTR{group}{\%}$ toman licor mientras que solamente el $50\QTR{group}{\%}$ que no sufren de presión sanguínea alta lo toman. Calcule el porcentaje de personas que toman licor y sufren de presión sanguínea alta.

Solución:

Sean los eventos:

La probabilidades asociadas a estos eventos son:

Y la probabilidad a calcular es

. El diagrama de árbol, ayuda a entender problemas relacionados con la regla de la multiplicación, como es el caso del presente problema:

El porcentaje de personas que toman licor y sufren de presión sanguínea alta es determinado como
4. Un lote contien

artículos de los cuales

son defectuosos y

no defectuosos son inspeccionados uno por uno. Si los artículos son seleccionados al azar sin reemplazamiento, calcular la probabilidad de que:
a. Los primeros dos artículos sean defectuosos
b. Entre los tres primeros artículos, dos sean buenos
c. El tercer artículo es defectuoso
d. Si se tine la siguiente regla: se acepta el lote de