Distribución uniforme
La distribución uniforme es
la que corresponde a una variable que toma todos sus valores, x1, x2...
, xk, con igual probabilidad; el espacio muestral debe ser finito.
Si la variable tiene k
posibles valores, su función de probabilidad sería:
donde k es el parámetro de la distribución (un parámetro es un valor que sirve
para determinar la función de probabilidad o densidad de una variable aleatoria)
La media y la varianza de la
variable uniforme se calculan por las expresiones:
El histograma de la función toma el aspecto de un rectángulo, por ello, a la
distribución uniforme se le suele llamar distribución rectangular.
Distribución binomial
La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un
experimento que cumple las siguientes condiciones:
1)
El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número
natural fijo.
2)
Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la
variable binómica o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos posibles
resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y
fracaso.
3)
La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las
pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q
4)
Las pruebas son estadísticamente independientes,
En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en
las n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral
estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una
variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n
elementos con reemplazamiento.
La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p)
siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los
parámetros de la distribución.
La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los
incluidos en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia
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La media y la varianza de la variable binomial se calculan como:
Media = μ = n pVarianza = σ2 = n p q
Gráficamente el aspecto de la distribución depende de que sea o no simétrica Por
ejemplo, el caso en que n = 4:
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  Distribución multinomial
La distribución multinomial
es esencialmente igual a la binomial con la única diferencia de que cada prueba
tiene más de dos posibles resultados mutuamente excluyentes.
Si tenemos K resultados
posibles (Ei , i = 1, ... , K) con probabilidades fijas (pi
, i = 1, ... , K), la variable que expresa el número de resultados de cada tipo
obtenidos en n pruebas independientes tiene distribución multinomial.
La probabilidad de obtener x1 resultados E1, x2
resultados E2, etc. se representa como:
Los parámetros de la distribución son p1,..., pK y n.
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Distribución hipergeométrica
Una variable tiene distribución hipergeométrica si procede de un experimento que
cumple las siguientes condiciones:
1)
Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto
finito de N objetos.
2)
K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como
fracasos.
X cuenta el número de ‚éxitos obtenidos en la muestra. El espacio muestral es el
conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a K si K < n.
En este caso, la
probabilidad del ‚éxito en pruebas sucesivas no es constante pues depende del
resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son
independientes entre sí.
La función de probabilidad
de la variable hipergeométrica es:
Los parámetros de la
distribución son n, N y K.
Los valores de la media y la
varianza se calculan según las ecuaciones:
Si n es pequeño, con
relación a N (n << N), la probabilidad de un ‚éxito variar muy poco de una
prueba a otra, así pues, la variable, en este caso, es esencialmente binomial;
en esta situación, N suele ser muy grande y los números combinatorios se vuelven
prácticamente inmanejables, así pues, la probabilidades se calculan más
cómodamente aproximando por las ecuaciones de una binomial con p = K / N.
La media de la variable
aproximada (μ = n p = n (K / N)) es la misma que la de la variable antes de la
aproximación; sin embargo, la varianza de la variable binomial es ligeramente
superior a la de la hipergeométrica.
el
factor por el que difieren ser siempre menor que 1 y tan próximo a 1 como cierto
sea que n << N.
El aspecto de la
distribución es bastante similar al de la binomial. Como ejemplo, mostramos los
casos análogos a los de las binomiales del apartado anterior (p inicial = 0,25
y n = 4)
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Distribución multihipergeométrica
Este variable se define igual que la hipergeométrica con la única diferencia de
que se supone que el conjunto de objetos sobre el que se muestrea se divide en R
grupos de A1, A2,..., AR objetos y la variable
describe el número de objetos de cada tipo que se han obtenido (x1, x2,...,
xR)
Esta situación es análoga a
la planteada en el caso de la distribución multinomial. La función de
probabilidad es:
Distribución de poisson
Una variable de tipo poisson cuenta ‚éxitos (es decir, objetos de un tipo
determinado) que ocurren en una región del espacio o del tiempo.
El experimento que la
genera debe cumplir las siguientes condiciones:
-
El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del espacio es independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del anterior.
-
La probabilidad de un ‚éxito en un tiempo o espacio pequeño es proporcional al tamaño de este y no depende de lo que ocurra fuera de él.
-
La probabilidad de encontrar uno o más ‚éxitos en una región del tiempo o del espacio tiende a cero a medida que se reducen las dimensiones de la región en estudio.
Como consecuencia de estas condiciones, las variables Poisson típicas son
variables en las que se cuentan sucesos raros.
La función de probabilidad de una variable Poisson es:
El parámetro de la
distribución es λ que es igual a la media y a la varianza de la variable.
Esta característica puede
servirnos para identificar a una variable Poisson en casos en que se presenten
serias dificultades para verificar los postulados de definición.
La distribución de Poisson
se puede considerar como el límite al que tiende la distribución binomial cuando
n tiende a
y
p tiende a 0, siendo np constante (y menor que 7); en esta situación sería
difícil calcular probabilidades en una variable binomial y, por tanto, se
utiliza una aproximación a través de una variable Poisson con media l = n p.
y
p tiende a 0, siendo np constante (y menor que 7); en esta situación sería
difícil calcular probabilidades en una variable binomial y, por tanto, se
utiliza una aproximación a través de una variable Poisson con media l = n p.
La varianza de la variable
aproximada es ligeramente superior a la de la variable binomial.
Las variables Poisson
cumplen la propiedad de que la suma de variables Poisson independientes es otra
Poisson con media igual a la suma las medias.
El aspecto de la
distribución depende muchísimo de la magnitud de la media. Como ejemplo,
mostramos tres casos con λ = 0,5 (arriba a la izquierda), λ = 1,5 (arriba a la
derecha) y λ = 5 (abajo) Obsérvese que la asimetría de la distribución disminuye
al crecer λ y que, en paralelo, la gráfica empieza a tener un aspecto
acampanado.
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Variables aleatorias continuas
Distribución normal o de Gauss
La distribución normal fue definida por De Moivre en 1733 y es la distribución
de mayor importancia en el campo de la estadística.
Una variable es normal
cuando se ajusta a la ley de los grandes números, es decir, cuando sus valores
son el resultado de medir reiteradamente una magnitud sobre la que influyen
infinitas causas de efecto infinitesimal.
Las variables normales
tienen una función de densidad con forma de campana a la que se llama campana de
Gauss.
Su función de densidad es la
siguiente:
Los parámetros de la
distribución son la media y la desviación típica, μ y σ, respectivamente. Como
consecuencia, en una variable normal, media y desviación típica no deben estar
correlacionadas en ningún caso (como desgraciadamente ocurre en la inmensa
mayoría de las variables aleatorias reales que se asemejan a la normal.
La curva normal cumple las
siguientes propiedades:
1)
El máximo de la curva coincide con la media.
2)
Es perfectamente simétrica respecto a la media (g1 = 0).
3)
La curva tiene dos puntos de inflexión situados a una desviación típica
de la media. Es convexa entre ambos puntos de inflexión y cóncava en ambas
colas.
4)
Sus colas son asintóticas al eje X.
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Para calcular probabilidades en intervalos de valores de la variable, habría que
integrar la función de densidad entre los extremos del intervalo. por desgracia
(o por suerte), la función de densidad normal no tiene primitiva, es decir, no
se puede integrar. Por ello la única solución es referirse a tablas de la
función de distribución de la variable (calculadas por integración numérica)
Estas tablas tendrían que ser de triple entrada (μ, σ, valor) y el asunto
tendría una complejidad enorme.
Afortunadamente, cualquier
que sea la variable normal, X, se puede establecer una correspondencia de sus
valores con los de otra variable con distribución normal, media 0 y varianza 1,
a la que se llama variable normal tipificada o Z. La equivalencia entre ambas
variables se obtiene mediante la ecuación:
La función de distribución
de la variable normal tipificada está tabulada y, simplemente, consultando en
las tablas se pueden calcular probabilidades en cualquier intervalo que nos
interese.
De forma análoga a lo pasaba con las variables Poisson, la suma de variables
normales independientes es otra normal.
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Histograma de una normal idealizada
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Histograma de una muestra de una variable normal
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Distribución Gamma (Γ)
La distribución gamma se define a partir de la función gamma, cuya ecuación es:
La función de densidad de la
distribución gamma es:
α y
β son los parámetros de la distribución.
La media y la varianza de la
variable gamma son:
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Distribución exponencial
Es un caso particular de la distribución gamma cuando α = 1. Su función de
densidad es:
Su parámetro es β.
La media y la varianza de la
distribución exponencial son:
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